Équation cartésienne d'une droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Définition

Soit \(a,b,c\) des réels tels que \((a;b) \neq (0;0)\).
On considère la droite \(d\) qui est l'ensemble des points \(\text M(x;y)\) du plan tels que \(ax+by+c=0.\)
L'équation \(\boxed{ax+by+c=0}\) est une équation cartésienne de la droite \(d\).

Remarque

Toute droite du plan possède une infinité d'équations cartésiennes.

Exemple

Soit \(d\) la droite d'équation cartésienne \(2x+5y+1=0\).

Les points \(\text A (\color{green}{-3};\color{red}{1})\) et \(\text B(\color{green}{4};\color{red}{-3})\) appartiennent-ils à la droite \(d\) ?

• On a \(2\times(\color{green}{-3}) + 5 \times \color{red}{1} + 1 = 0\). Donc le point \(\text A\) appartient à la droite \(d\).
  
• On a \(2 \times \color{green}{4} + 5 \times (\color{red}{-3}) + 1 \neq 0\). Donc le point \(\text B\) n'appartient pas à la droite \(d\).
  

Propriété

Soit \(a,b,c\) des réels tels que \((a;b) \neq (0;0)\).
Soit \(d\) la droite d'équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).
Un vecteur directeur de la droite \(d\) est \(\boxed{\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}}\).

Exemple
Un vecteur directeur de la droite \(d\) d'équation \(2x+5y+1=0\) est \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ \end{pmatrix}\).

Remarque

• Si \(a = 0\), alors \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b \\ 0 \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\).
  La droite \(d\) est donc parallèle à l'axe des abscisses.
  Par exemple, la droite d'équation cartésienne \(5y+1=0\) est parallèle à l'axe des abscisses.
  
• Si \(b = 0\), alors \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\).
  La droite \(d\) est donc parallèle à l'axe des ordonnées.
  Par exemple, la droite d'équation cartésienne \(2x+1=0\) est parallèle à l'axe des ordonnées.